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Hast du gewusst, dass unsere Verschlüsselungstechnik auf Primzahlen basiert und nur deshalb funktioniert, weil unsere Computer noch nicht schnell genug rechnen können?
Mein Name ist Christoph Aistleitner und ich bin Mathematiker an der TU Graz. Und ich erkläre dir jetzt, was es mit Primzahlen und mit der Zahlentheorie auf sich hat.
Die Zahlen haben nämlich eine eigene Theorie. Die beschäftigt sich, wie der Name schon sagt, mit der Erforschung von Zahlen. Du fragst dich jetzt vielleicht, was es an Zahlen zu erforschen gibt. Das ist doch ganz klar. Die 1 ist die 1, die 2 ist die 2 und so weiter. Nein, ganz so einfach ist es auch wieder nicht. Die Zahlen braucht man nämlich nicht nur zum Zählen, sondern sie sind ein bisschen wie die Elemente in der Chemie. In der Mathematik sind die Zahlen die Bausteine von allem anderen. Manchmal kann man sie zerlegen, manchmal nicht.
Eines der wichtigsten Gebiete in der Zahlentheorie sind nämlich Fragen rund um die Primzahlen. Das sind die Zahlen, die man nicht ohne Rest durch eine andere Zahl teilen kann, so wie die 2, die 3, die 5 und so weiter. Schaut euch zum Vergleich die 4 an. Die kann man ohne Rest durch 2 teilen, also die 4 ist keine Primzahl. Auch die 1 gehört übrigens nicht zu den Primzahlen. Die ist ein ganz eigener Fall und spielt im Zahlensystem eine andere Rolle. Eine unserer wichtigsten Fragen ist, wie häufig Primzahlen sind. Ihr Abstand in der Zahlenreihenfolge ist nämlich unterschiedlich. Bei den kleinen Primzahlen, wie eben 2, 3 und 5, ist der Abstand noch sehr gering. Aber je größer die Zahlen werden, desto größer wird meistens auch der Abstand. Das heißt auch, dass große Primzahlen viel weniger häufig sind als kleine Primzahlen. Es gibt Formeln, die das sehr gut beschreiben, aber komplett gelöst ist das Problem noch nicht.
Eines der wichtigsten, aller ungelöstenmathematischen Probleme ist die sogenannte Riemannsche Vermutung. Das ist eines der sieben sogenannten Millenniumsprobleme, für deren Lösung es jeweils ein Preisgeld von einer Million Euro gibt. Die Riemannsche Vermutung beschäftigt uns Mathematikerinnen und Mathematiker jetzt schon seit über 160 Jahren. Bernhard Riemann hat behauptet, dass die Vermutung richtig ist, aber er hat sie nicht beweisen können. Das machen wir Mathematikerinnen und Mathematiker nämlich in unserer Forschung, Dinge beweisen. Die Riemannsche Vermutung jetzt ganz genau erklären kann ich nicht, aber diese Vermutung spielt eine ganz zentrale Rolle für die Mathematik. Zum Beispiel eben für die Frage, wie die Dichte der Primzahlen abnimmt, je größer die Zahlen werden oder auch für die Verteilung der sogenannten Primzahlzwillinge, die ich dir jetzt erklären werde.
Die Zahl 2 ist sehr spannend. Die ist nämlich die einzige gerade Primzahl. Alle anderen Primzahlen sind ungerade, weil sich gerade Zahlen, die größer als 2 sind, immer ohne Rest durch 2 teilen lassen. Primzahlen, die in Abstand 2 aufeinander folgen, so wie 3 und 5, 11 und 13, 41 und 43, die heißen Primzahlzwillinge. Wir wissen bis heute nicht, ob es unendlich viele solche Primzahlzwillinge gibt. Diese Frage ist schon seit Jahrtausenden bekannt, aber noch immer nicht gelöst, obwohl viele Leute ganz intensiv an der Lösung arbeiten. An dieser Frage ist etwas ganz typisch für ein Mathematikproblem. Wir fragen uns nämlich nicht, ob es 1.000 Primzahlzwillinge gibt oder eine Billion Primzahlzwillinge. Sondern wir fragen uns, ob es endlich viele oder unendlich viele davon gibt. So eine Frage kann nur die Mathematik mit einem mathematischen Beweis lösen, weil wir zwar theoretisch bis zu einer Billion zählen können, aber halt nicht bis unendlich. Auch ein Computer kann das Problem nicht lösen, sondern nur ein mathematischer Beweis.
Die Primzahlen sind aber nicht nur unglaublich interessant in der Theorie, sondern sie sind auch fürs richtige Leben sehr wichtig. Zum Beispiel in der Kryptographie, also in der Verschlüsselung. Da spielen die Primzahlen sogar die entscheidende Rolle. Die Basis dafür ist die sogenannte RSA-Verschlüsselung, die mit zwei sehr großen Primzahlen arbeitet. Die Verschlüsselung beruht darauf, dass es sehr einfach ist, die beiden Primzahlen miteinander zu multiplizieren, aber es ist sehr schwer vom Ergebnis der Multiplikation auf die zwei ursprünglichen Primzahlen zurückzukommen. Das können auch unsere heutigen Computersysteme noch nicht, weil sie für die Berechnung viel zu lang brauchen würden. Die Zahlen, um die es da geht, sind nämlich sehr sehr groß, mit hunderten oder tausenden Ziffern. Wenn eines Tages der Quantencomputer funktionsreif ist, dann schaut die Sache ganz anders aus. Dann müssen wir uns ein neues Kryptoverfahren überlegen. Aber wenn ihr das alles ganz genau wissen wollt, dann müsst ihr zu uns an die TU Graz kommen und Mathematik studieren.
Die Primzahlen sind ein sehr spannendes Gebiet der Zahlentheorie, aber natürlich nicht das einzige. Wir haben auch noch quadratische Irrationalzahlen und transzendente Zahlen und viele andere Arten von Zahlen. Das klingt vielleicht kompliziert, aber das ist unheimlich interessant. Und die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker arbeiten in ihrem Forschungsgebiet, weil sie es einfach unheimlich interessant finden. Wir wollen was verstehen, das treibt uns an. Oft denken wir viele Monate, manchmal sogar Jahre über ein Problem nach und verstehen es irgendwann und finden irgendwann eine Lösung. Dieses Gefühl kann man schwer beschreiben, aber es ist so ähnlich, wie wenn man ein richtig schweres Sudoku endlich gelöst hat. Und die Geschichte hat uns auch gezeigt, dass jede Art von Mathematik früher oder später für wichtige Anwendungen in Physik oder Technik gedient hat, auch wenn das am Anfang gar nicht die Absicht war. Wenn Mathematikerinnen und Mathematiker über ein Problem nachdenken, dann machen sie das fast nie, weil sie schon eine Idee haben, wie man das irgendwo anwenden kann und auch nicht, weil sie eine Million Euro Preisgeld verdienen wollen. Sondern einfach, weil es da eine richtig komplizierte Sache gibt, die sie unbedingt verstehen wollen.
Und wenn du auch nicht nur rechnen, sondern wirklich verstehen willst, wie unsere Welt funktioniert,dann komm zu uns an die TU Graz, wir können gute Leute immer brauchen. Das war ein kurzer Einblick in die Mathematik und in die Zahlentheorie. Danke fürs Zuschauen. Hast du vielleicht eine Lieblingszahl, vielleicht sogar eine Primzahl?
