Anisotropes viskoelastisches Materialmodell für die Bestimmung von Materialparametern aus experimentellen Nano-Eindringversuchen mit Rasterkraftmikroskopie.

In Kooperation mit der Christian Doppler (CD) Forschungsgesellschaft soll eine akkurate neue Methode entwickelt werden, um Materialparameter aus Nano-Eindringversuchen auf Papierfasern zu bestimmen. Hierfür wurde ein anisotropes viskoelastisches Materialmodell auf Basis der Arbeiten von Yeoh [1] für Hyperelastizität und Holzapfel & Gasser [2] und Simo [3] für orthotrope lineare Viskoelastizität bei großen Verformungen in ein bestehendes nichtlineares Finite Elemente MATLAB-Programm implementiert. Dieses MATLAB-Programm soll überprüfen und verifizieren, ob die konstitutiven Gleichungen ein ähnliches experimentelles Materialverhalten abbilden können. Anschließend wird das Materialmodell in ABAQUS implementiert, um einerseits die Rechenperformance zu erhöhen und andererseits den vollen Umfang von Entwicklungsumgebungen wie Pre- und Postprocessing nutzen zu können. Mit diesem Vorgehen ist die Datenauswertung im Vergleich zu Vorgängermodellen des CD-Labors nicht mehr an die Annahmen von kleinen Verformungen und analytisch errechneten Spannungsverteilungen gebunden bzw. limitiert.

Schlüsselwörter: Rasterkraftmikroskopie, Papierfasern, Nanoindentierung, Finite Hyperelastizität, Finite Lineare Viskoelastizität, Anisotropie, Orthotropie, Strukturtensoren, Inverses Problem

[1] Holzapfel, G. A., Gasser, C. G., 2000. A Viscoelastic Model for Fiber-Reinforced Composites at Finite Strains: Continuum Basis, Computational Aspects and Applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 190, 4379-4403.
[2] Simo J. C., 1987. On a Fully Three-dimensional Finite-Strain Viscoelastic Damage Model: Formulation and Computational Aspects. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 60, 153–173.
[3] Yeoh, O. H., 1990. Characterization of Elastic Properties of Carbon-black-filled Rubber Vulcanizates. Rubber Chemistry and Technology, Vol. 63: 792-805.

Abb. 1: Nanoindentierung
Abb. 2: Ablaufdiagramm der Analyse

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Berechnung von minimalen Energiepfaden für eine Kette aus bi-stabilen Elementen mit der finiten Elemente Methode und Molekulardynamik

Thermisch aktivierte Prozesse sind Bestandteil vieler Probleme in der Festkörpermechanik, in computergestützten Simulationen der Chemie und der Physik der kondensierten Materie. Wenn sich der Zustand eines Systems vom Reaktanten zum Produkt ändert, ist die Energie des Systems entlang der Reaktionstrajektorie oft höher als Ausgangs- oder Endzustand. Die Stelle entlang des Weges mit der höchsten Energie wird als Übergangszustand und die Energiedifferenz zwischen dem Übergangszustand und dem Reaktanten wird als Aktivierungsenergie bezeichnet. Die Reaktionsgeschwindigkeit kann mittels einer Arrhenius-Gleichung beschrieben werden, die maßgeblich von der Aktivierungsenergie abhängt.
Die String-Methode in kollektiven Variablen [L. Maragliano et al., J. Chem. Phys. 125, 024106 (2006)] ermöglicht die Berechnung von Energiebarrieren zwischen lokalen Minima und die Ermittlung von minimalen Energiepfaden. Nicht-konvexe Energielandschaften, wie sie bei Phasenübergängen auftreten, können dadurch effizient untersucht werden. Das einfachste diskrete System für die Untersuchung von Phasenübergängen ist ein eindimensionaler elastischer Stab mit einer nicht monotonen Spannungs-Dehnungskurve [J.L. Ericksen, J. Elasticity 5, 191-201 (1975)]. Dieses Problem wird gewählt, um die Leistungsfähigkeit der String-Methode sowohl in einem analytischen als auch in einem atomistisch-kontinuumsmechanischen Modell zu untersuchen. Letzteres ist ein hierarchisches, zweistufiges Modell, das Molekulardynamik auf der Mikroebene mit der finiten Elemente Methode auf der Makroebene verbindet [M.H. Ulz,  J. Mech. Phys. Solids 74, 1-18 (2015)]. Die String-Methode wird in dieses Modell integriert und ein Phasenübergang in einem Kupfer-Einkristall (von kubisch flächenzentriert auf hexagonal dichtest gepackt) wird untersucht. Numerische Beispiele, auf die das analytische und numerische Modell angewendet werden, geben Aufschluss über das numerische Verhalten der String-Methode.

Abb. 1: Hexagonal dichtest gepacktes Kristallsystem
Abb. 2: Verzerrungsenergiedichte mit zwei stabilen Minima

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Gradientenerweiterte Schadensmechanik bei kleinen Verformungen. Variationsformulierung und Implementierung mit finiten Elementen

Wenn entfestigende Materialien (Abb. 1) in den inelastischen Bereich übergehen, ist dies oft mit materieller Instabilität verbunden. Daraus resultiert eine unerwünschte Abhängigkeit der numerischen Lösung von der Feinheit des Rechennetzes der Finiten-Elemente-Formulierung. Um dieses Problem zu überwinden, kann ein nichtlokaler variationsbasierter Ansatz eingeführt werden, der auf einer Mehrfeldformulierung basiert. Dabei werden zusätzlich zu den makroskopischen Verschiebungen mikroskopische “Verschiebungen” eingeführt, welche den mikrostrukturellen Zustand eines Körpers beschreiben. Der Nichtlokalität dieser erweiterten Theorie wird durch den Gradienten des mikroskopischen “Verschiebungsfeldes” Rechnung getragen. Das konstitutive Materialverhalten wird dabei mittels einer Energiedichtefunktion und einer Dissipationsfunktion festgelegt. Das Prinzip der maximalen Dissipation wird, in Kombination mit einem viskosen Strafterm, ausgenutzt, um ratenabhängiges Materialverhalten abzubilden. Die Formulierung eines zeitdiskreten Variationsprinzips liefert jene Bilanzgleichungen, die das Verhalten eines allgemeinen auf Gradientenerweiterung basierenden Materials beschreiben. Dieses Variationsprinzip wird auf ein isotropes Schädigungsmodell angewandt. Die auftretenden Gleichungen werden mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode diskretisiert. Anhand von numerischen Beispielen kann die klassische lokale Theorie mit der gradientenerweiterten Theorie verglichen werden. Es zeigt sich, dass die gradientenerweiterte Theorie tatsächlich von der Netzfeinheit unabhängige Ergebnisse liefert (Abb. 2).

Abb. 1: Lokales konstitutives Verhalten eines linear entfestigenden Materials.
Abb. 2: (a)-(c): lokale Lösung für 9x20, 18x40 und 36x80 Elemente.

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Verbesserung des Konvergenzverhaltens von hierarchischen Atomistik-zu-Kontinuum Modellen mithilfe von Stochastischer Approximation

Mehrskalenmodelle, die Kontinuumsmechanik und Atomistik vereinen, haben in den vergangenen Jahren an Popularität in der Ingenieurscommunity gewonnen. Diese Modelle können in zwei Kategorien eingeteilt werden. (1) Die ''partitioned-domain''-Mehrskalenmodelle verwenden feinere Skalen zur Auflösung von kritischen Bereichen und stellen eine direkte örtliche Kopplung zwischen den Skalen her. (2) Hierarchische Multiskalenmodelle hingegen verwenden Simulationen auf feinen Skalen um Parameter für Berechnungen auf gröberen Skalen zu liefern. Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Informationsaustausch in hierarchischen Atomistik-zu-Kontinuum Modellen mithilfe von Stochastischer Approximation (SA) [1,2] zu verbessern. Zu diesem Zweck wird ein typisches Modell ausgewählt und verbessert.

Auf der Makroskala dieses Modells werden die Gleichgewichtsbedingungen der Kontinuumsmechanik mithilfe einer nichtlinearen Finite Elemente Formulierung gelöst. Die Mikroskala, auf der ein kanonisches Ensemble der statistischen Mechanik mit Molekulardynamik (MD) simuliert wird, ersetzt eine klassische Materialformulierung und liefert das konstitutive Verhalten. Die Mikroskala kann durch die begrenzte Rechenzeit praktisch gesehen kein thermodynamisches Gleichgewicht erreichen. Dies wurde kürzlich in [3] untersucht. Als Konsequenz sind die Ergebnisse des Modells durch thermische Effekte geräuschbehaftet.

Das thermische Geräusch erzeugt eine Situation, die große Ähnlichkeit zum Robbins-Monro Iterationsschema aus der SA aufweist. Diese Ähnlichkeit rechtfertigt die Anwendung von zwei Mittelungsstrategien aus der SA auf hierarchische Mehrskalenmodelle. Von diesen beiden Mittelungsstrategien ist bekannt, dass sie das Konvergenzverhalten in SA Problemen unter bestimmten Bedingungen verbessern können. Das Vorgehen bedingt keinen zusätzlichen Rechenaufwand. Die Effektivität der Anwendung der vorgeschlagenen Mittelungsstrategien auf das Mehrskalenmodell aus [3] wird mithilfe von numerischen Beispielen gezeigt.

[1] Kushner, H. J., Yin, G. G., 2003. Stochastic Approximation and Recursive Algorithms and Applications. New York: Springer.

[2] Spall, J. C., 2003. Introduction to Stochastic Search and Optimization: Estimation, Simulation, and Control. New Jersey: Wiley.

[3] Ulz, M. H., 2015. Coupling the finite element method and molecular dynamics in the framework of the heterogeneous multiscale method for quasi-static isothermal problems. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 74, 1-18.

Abb.1: In jedem Integrationspunkt des makroskopischen Körpers befindet sich eine MD Zelle.
Abb.2: Informationsaustausch zwischen der Makro- und Mikroskala.

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